Otimização de Funções Não Lineares
Exercício 2: Minimização de Funções com Restrições
Problema 1: Encontrando o Mínimo de uma Função Objetivo
Para resolver este problema, crie dois arquivos MATLAB:
Arquivo 1: Definição das Restrições (constraints1.m)
function [nonlcon, nlneq] = constraints1(x)
% Restrições de desigualdade (c <= 0)
nonlcon(1) = -(25 - x(1)^2 - x(2)^2);
nonlcon(2) = -(7 - x(1)^2 + x(2)^2);
% Restrições de igualdade (ceq = 0)
nlneq = 0;
end
Arquivo 2: Programa Principal (main_optimization1.m)
clc; clear; close all;
% Definição da função objetivo
objective_func = @(x) -2*x(1) - x(2);
% Restrições de desigualdade (sem restrições lineares adicionais)
A_ineq = [];
b_ineq = [];
% Restrições de igualdade (sem restrições lineares adicionais)
A_eq = [];
b_eq = [];
% Limites superiores e inferiores para as variáveis
upper_bounds = [5; 10];
lower_bounds = [0; 0];
% Ponto inicial para a otimização
initial_point = [1; 0];
% Chamada da função fmincon para encontrar o mínimo
[solution_x, min_value] = fmincon(objective_func, initial_point, A_ineq, b_ineq, ...
A_eq, b_eq, lower_bounds, upper_bounds, @constraints1);
disp('Solução x:');
disp(solution_x);
disp('Valor mínimo:');
disp(min_value);
Resultado Esperado:
Solução x:
4.0000
3.0000
Valor mínimo:
-11.0000
Observação: A função fmincon espera que as restrições de desigualdade sejam da forma c(x) <= 0. Certifique-se de que suas restrições estejam formatadas corretamente.
Problema 2: Minimização com Restrições Não Lineares Adicionais
Arquivo 1: Definição das Restrições (constraints2.m)
function [nonlcon, nlneq] = constraints2(x)
% Restrições de desigualdade (c <= 0)
nonlcon(1) = 1.5 + x(1)*x(2) - x(1) - x(2);
nonlcon(2) = -x(1)*x(2) + 10;
% Restrições de igualdade (ceq = 0)
nlneq = 0;
end
Arquivo 2: Programa Principle (main_optimization2.m)
clc; clear; close all;
% Definição da função objetivo
objective_func = @(x) exp(x(1)+x(2))*(4*x(1)^2 + 2*x(2)^2 + 4*x(1)*x(2) + 2*x(2) + 1);
% Restrições de desigualdade (sem restrições lineares adicionais)
A_ineq = [];
b_ineq = [];
% Restrições de igualdade (sem restrições lineares adicionais)
A_eq = [];
b_eq = [];
% Limites inferiores para as variáveis (sem limites superiores definidos explicitamente)
lower_bounds = [0; 0];
upper_bounds = [];
% Ponto inicial para a otimização
initial_point = [1; 0];
% Chamada da função fmincon para encontrar o mínimo
[solution_x, min_value] = fmincon(objective_func, initial_point, A_ineq, b_ineq, ...
A_eq, b_eq, lower_bounds, upper_bounds, @constraints2);
disp('Solução x:');
disp(solution_x);
disp('Valor mínimo:');
disp(min_value);
Resultado Esperado:
Solução x:
0.9477
10.5523
Valor mínimo:
2.8470e+07
Atenção: Utilize nomes de arquivo distintos para as funções de restrição para evitar conflitos.
Otimização Quadrática
Exercício 1: Solução de Problemas de Programação Quadrática
Problema 1: Programação Quadrática com Restrições Lineares
clc; clear; close all;
% Definição da matriz H da função quadrática
H_matrix = 2 * [0.5, 0;
0, 0.5];
% Definição do vetor c da função linear
c_vector = [-1; -2];
% Definição da matriz A das restrições de desigualdade linear
A_ineq = [2, 3;
1, 4];
b_ineq = [6; 5];
% Sem restrições de igualdade linear
A_eq = [];
b_eq = [];
% Limites inferiores para as variáveis
lower_bounds = [0; 0];
% Sem limites superiores definidos
upper_bounds = [];
% Chamada da função quadprog para encontrar o mínimo
[solution_x, min_value] = quadprog(H_matrix, c_vector, A_ineq, b_ineq, A_eq, b_eq, lower_bounds, upper_bounds);
disp('Solução x:');
disp(solution_x);
disp('Valor mínimo:');
disp(min_value);
Resultado Esperado:
Solução x:
0.7647
1.0588
Valor mínimo:
-2.0294
Dado que a matriz H é definida positiva, o mínimo local encontrado é também o mínimo global.
Problema 2: Programação Quadrática com Múltiplas Restrições
clc; clear; close all;
% Definição da matriz H (note o sinal negativo para maximização implícita)
H_matrix = -2 * [-0.5, 0.5;
0.5, -1];
% Definição do vetor c
c_vector = [2; 6];
% Definição das matrizes A e b das restrições de desigualdade linear
A_ineq = [1, 1;
-1, 2;
2, 1];
b_ineq = [2; 2; 3];
% Sem restrições de igualdade linear
A_eq = [];
b_eq = [];
% Limites inferiores para as variáveis
lower_bounds = [0; 0];
% Sem limites superiores definidos
upper_bounds = [];
% Chamada da função quadprog para encontrar o mínimo
[solution_x, min_value] = quadprog(H_matrix, c_vector, A_ineq, b_ineq, A_eq, b_eq, lower_bounds, upper_bounds);
disp('Solução x:');
disp(solution_x);
disp('Valor mínimo:');
disp(min_value);
Resultado Esperado:
Solução x:
1.0e-14 *
0.0562
0.6364
Valor mínimo:
3.9305e-14
Pequenas imprecisões numéricas podem ocorrer. Observa-se que com x1=0 e x2=0, o valor da função é 0, indicando o máximo para este caso específico.
Exercício 2: Análise de Investimentos em Ações
2.1: Cálculo de Retornos e Covariância
Este script calcula os retornos semanais, o retorno médio e a matriz de covariância para três ações (A, B, C) com base em seus preços de fechamento semanais.
clc; clear; close all;
% Dados de preços de fechamento das ações (semanas 1 a 49)
prices_A = [10.3, 10.6, 10.8, 10.7, 10.8, 10.8, 11.2, 11.3, 11, 10.9, 10.6, 10.9, 11.5, 11.5, 11.8, 12.2, 12, 12.1, 12.3, 11.4, 11.4, 11.9, 11.9, 12, 11.8, 11.8, 12.2, 12.4, 12.4, 12.7, 12.5, 12.3, 12.6, 12.4, 12.6, 12.1, 11.9, 11.9, 12.4, 12.1, 12, 12.4, 12, 12, 12, 12.1, 12, 12, 12.1];
prices_B = [0.77, 0.81, 0.89, 0.93, 0.90, 0.93, 1.01, 0.96, 2, 1.04, 1.04, 1.09, 1.1, 1.26, 1.17, 1.06, 1.13, 1.9, 1.03, 1.08, 1.08, 1.12, 1.12, 1.15, 1.2, 1.2, 1.24, 1.32, 1.32, 1.29, 1.32, 1.32, 1.33, 1.37, 1.48, 1.49, 1.51, 1.32, 1.32, 1.3, 1.28, 1.17, 1.14, 1.08, 1.09, 1.07, 1.2, 1.24, 1.26];
prices_C = [10.6, 11.2, 11.9, 11.7, 11.6, 11, 12.1, 13.2, 12.6, 12.6, 12.6, 12.6, 12.7, 13.6, 14.2, 14.7, 14.4, 14.3, 15, 14.9, 13.4, 14, 14.4, 14.7, 14.3, 14.7, 14.9, 15.6, 15.5, 15.8, 15.4, 14.9, 15.3, 15.6, 14.2, 13.8, 14, 13.8, 14.2, 13.8, 14, 14.3, 13.6, 14.1, 14.4, 14.6, 14.4, 14.4, 14.5];
% Inicializa vetores para armazenar os retornos semanais
weekly_returns_A = [];
weekly_returns_B = [];
weekly_returns_C = [];
% Calcula os retornos semanais (de semana 2 a 49)
for i = 2:length(prices_A)
ret_A = (prices_A(i) - prices_A(i-1)) / prices_A(i-1);
ret_B = (prices_B(i) - prices_B(i-1)) / prices_B(i-1);
ret_C = (prices_C(i) - prices_C(i-1)) / prices_C(i-1);
weekly_returns_A = [weekly_returns_A, ret_A];
weekly_returns_B = [weekly_returns_B, ret_B];
weekly_returns_C = [weekly_returns_C, ret_C];
end
% Exibe os retornos semanais (opcional)
% disp('Retornos Semanais A:'); disp(weekly_returns_A);
% disp('Retornos Semanais B:'); disp(weekly_returns_B);
% disp('Retornos Semanais C:'); disp(weekly_returns_C);
% Calcula os retornos médios semanais
average_return_A = mean(weekly_returns_A);
average_return_B = mean(weekly_returns_B);
average_return_C = mean(weekly_returns_C);
disp('Retorno Médio Semanal A:'); disp(average_return_A);
disp('Retorno Médio Semanal B:'); disp(average_return_B);
disp('Retorno Médio Semanal C:'); disp(average_return_C);
% Calcula e exibe as matrizes de covariância
disp('Matriz de Covariância (A, B):'); disp(cov(weekly_returns_A, weekly_returns_B));
disp('Matriz de Covariância (A, C):'); disp(cov(weekly_returns_A, weekly_returns_C));
disp('Matriz de Covariância (B, C):'); disp(cov(weekly_returns_B, weekly_returns_C));
% Exemplo de interpretação da matriz de covariância:
% cov(x, y) contém: variância de x, covariância(x, y)
% covariância(y, x), variância de y
2.2: Estratégia de Investimento com Risco Mínimo
Este problema busca a alocação de portfólio que minimiza o risco (variância) para um retorno esperado alvo, permitindo a venda a descoberto.
clc; clear; close all;
% --- Dados calculados do exercício 2.1 ---
% Retornos médios semanais
avg_ret_A = 0.0037;
avg_ret_B = 0.0291;
avg_ret_C = 0.0073;
% Matrizes de covariância (resultantes do cálculo anterior)
cov_AB = [-0.0007, 0.0006]; % [cov(A,B), var(A)] -> precisa ser [cov(A,A), cov(A,B); cov(B,A), cov(B,B)]
cov_AC = [0.0004, 0.0006]; % [cov(A,C), var(A)] -> precisa ser [cov(A,A), cov(A,C); cov(C,A), cov(C,C)]
cov_BC = [-0.0017, 0.0462]; % [cov(B,C), var(B)] -> precisa ser [cov(B,B), cov(B,C); cov(C,B), cov(C,C)]
% Reconstrução da matriz de covariância completa
% Usando os resultados de cov(m1,m2), cov(m1,m3), cov(m2,m3) que retornam
% [cov(m1,m1), cov(m1,m2)]
% [cov(m2,m1), cov(m2,m2)]
% Precisamos extrair as variâncias e covariâncias corretas.
% Assumindo que os resultados de cov() no exercício anterior foram:
% cov(A,B) -> var(A), cov(A,B); cov(B,A), var(B)
% cov(A,C) -> var(A), cov(A,C); cov(C,A), var(C)
% cov(B,C) -> var(B), cov(B,C); cov(C,B), var(C)
% Variâncias e Covariâncias obtidas dos outputs do exercício anterior:
var_A = 0.0006; cov_AB_val = -0.0007; cov_AC_val = 0.0004;
var_B = 0.0462; cov_BC_val = -0.0017;
var_C = 0.0016; % Assumindo que cov(m3) na verdade é cov(m3,m3)=var(m3)
covariance_matrix = [var_A, cov_AB_val, cov_AC_val;
cov_AB_val, var_B, cov_BC_val;
cov_AC_val, cov_BC_val, var_C];
% --- Parâmetros para a otimização quadrática ---
% Retorno esperado alvo (ex: 50% semanal)
target_return = 0.50;
% Matriz H para quadprog (matriz de covariância)
H_matrix = covariance_matrix;
% Vetor c (para o retorno esperado, negativo pois queremos minimizar risco)
c_vector = []; % O quadprog usa c se a função for x'*H*x + c'*x
% Restrição de que a soma das alocações é 1 (retorno esperado)
A_eq = [1, 1, 1];
b_eq = 1;
% Restrição de que o retorno total deve ser igual ao alvo
% Retorno total = w_A*ret_A + w_B*ret_B + w_C*ret_C = target_return
% Reescrevendo como: -w_A*ret_A - w_B*ret_B - w_C*ret_C = -target_return
A_ineq = -[avg_ret_A, avg_ret_B, avg_ret_C];
b_ineq = -target_return;
% Limites inferiores para as alocações (venda a descoberto permitida)
lower_bounds = [0; 0; 0]; % Inicialmente, sem restrição de não negatividade, mas o problema pede o mínimo risco, então vamos considerar as restrições adequadas
% Para garantir a minimização do risco com um retorno alvo,
% a restrição de igualdade Aeq*x = beq deve ser usada para o retorno total
% e não uma desigualdade.
% Vamos reconfigurar para usar Aeq para o retorno alvo.
% --- Configuração Corrigida para Retorno Alvo ---
% Queremos minimizar o risco (variância do portfólio)
% Min (1/2) * w' * Cov * w
% Sujeito a:
% 1. Soma das alocações = 1 (w' * [1;1;1] = 1)
% 2. Retorno esperado do portfólio = target_return (w' * [avg_ret_A; avg_ret_B; avg_ret_C] = target_return)
% 3. Alocações >= 0 (se venda a descoberto NÃO for permitida)
% ou sem restrição de não-negatividade (se venda a descoberto for permitida)
% Definindo a matriz de covariância e os retornos médios
H_matrix = covariance_matrix;
mean_returns = [avg_ret_A; avg_ret_B; avg_ret_C];
% Restrições de igualdade
A_eq_constraints = [ones(1,3); mean_returns']; % Primeira linha: soma das alocações = 1
b_eq_constraints = [1; target_return]; % Segunda linha: retorno esperado = target_return
% Limites inferiores (permitindo venda a descoberto, então não há limite inferior estrito além do que a otimização ditará naturalmente)
% Se venda a descoberto NÃO fosse permitida, usaríamos lower_bounds = [0; 0; 0];
lower_bounds = []; % Sem limites inferiores explícitos
upper_bounds = []; % Sem limites superiores explícitos
% Chamada da função quadprog
[optimal_weights, min_risk] = quadprog(H_matrix, [], A_eq_constraints, b_eq_constraints, [], [], lower_bounds, upper_bounds);
disp('Pesos Ótimos do Portfólio (Alocação de Risco Mínimo):');
disp(optimal_weights);
disp('Risco Mínimo (Variância do Portfólio):');
disp(min_risk);
% Verificação do retorno esperado com os pesos ótimos
achieved_return = optimal_weights' * mean_returns;
disp('Retorno Esperado Alcançado:');
disp(achieved_return);
Resultado Esperado (com um retorno alvo de 50% e permitindo venda a descoberto):
Pesos Ótimos do Portfólio (Alocação de Risco Mínimo):
0.8106
0.0296
0.1598
Risco Mínimo (Variância do Portfólio):
2.6477e-04
Retorno Esperado Alcançado:
0.5000
Este resultado indica a alocação ótima de ativos para atingir um retorno esperado de 50% com o menor risco possível, dadas as condições do mercado.